2040. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Одна из них равна 6. Отрезок, соединяющий середины оснований, равен 4,5. Найдите площадь трапеции.
Ответ. 9\sqrt{5}
.
Указание. Через вершину трапеции проведите прямую, параллельную диагонали.
Решение. Пусть M
и K
— середины оснований BC
и AD
трапеции ABCD
. Через вершину C
меньшего основания BC
проведём прямую, параллельную диагонали BD
(BD=6
), до пересечения с прямой AD
в точке P
и прямую, параллельную MK
, до пересечения с прямой AD
в точке Q
. Тогда
AQ=AK+KQ=AK+MC=\frac{1}{2}AD+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AD+DP)=\frac{1}{2}AP.
Поэтому CQ
— медиана треугольника ACP
, а так как \angle ACP=90^{\circ}
, то AQ=QP=CQ=MK=4{,}5
(см. задачу 1109). Поэтому AP=9
. Тогда
AC=\sqrt{AP^{2}-CP^{2}}=\sqrt{81-36}=3\sqrt{5}.
Следовательно,
S_{ABCD}=S_{\triangle ACP}=\frac{1}{2}AC\cdot CP=\frac{1}{2}\cdot3\sqrt{5}\cdot6=9\sqrt{5}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1980, билет 11, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 80-11-3, с. 228
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 1.17, с. 11