2054. Гипотенуза AB
прямоугольного треугольника ABC
является хордой окружности радиуса 10. Вершина C
лежит на диаметре окружности, который параллелен гипотенузе. Угол CAB
равен 75^{\circ}
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. 40.
Указание. Докажите, что \angle MCO=30^{\circ}
(O
— центр окружности).
Решение. Из центра O
данной окружности опустим перпендикуляр OM
на гипотенузу AB
. Тогда M
— середина AB
, MC=MA=MB
(см. задачу 1109). Поэтому
\angle MCB=\angle ABC=15^{\circ},~\angle BCO=\angle ABC=15^{\circ}.
Следовательно, \angle MCO=30^{\circ}
.
Пусть OM=x
. Из прямоугольного треугольника MCO
находим, что MC=2x
. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике MOB
:
OB^{2}=OM^{2}+MB^{2},~\mbox{или}~100=x^{2}+4x^{2}.
Отсюда находим, что x^{2}=20
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot OM=\frac{1}{2}\cdot4x\cdot x=2x^{2}=40.
Источник: Вступительный экзамен на факультет вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ. — 1988, вариант 1, № 3
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Факториал, 1995. — с. 31
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 1.19, с. 11