2091. В окружности проведены хорды AB
и BC
, причём AB=\sqrt{3}
, BC=3\sqrt{3}
, \angle ABC=60^{\circ}
. Найдите длину той хорды окружности, которая делит угол ABC
пополам.
Ответ. 4.
Указание. Примените теорему косинусов.
Решение. Пусть BD=x
— искомая хорда. Поскольку BD
— биссектриса угла ABC
, то AD=DC
(см. задачу 805).
Выразив эти отрезки по теореме косинусов из треугольников ABD
и CBD
соответственно, получим уравнение
3+x^{2}-2x\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=27+x^{2}-2\cdot3\sqrt{3}\cdot x\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}.
Отсюда находим, что x=4
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1985, билет 6, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 85-6-4, с. 268