2095. В трапеции ABCD
(AD\parallel BC
) угол ADB
в два раза меньше угла ACB
. Известно, что BC=AC=5
и AD=6
. Найдите площадь трапеции.
Ответ. 22.
Указание. Точки A
, B
и D
лежат на окружности с центром C
и радиусом 5.
Решение. Построим окружность с центром в точке C
и радиусом CB=CA=5
. Поскольку \angle ADB=\frac{1}{2}\angle ACB
, то точка D
принадлежит этой окружности (см. задачу 2900), и CD=CA=5
.
Пусть CK
— высота равнобедренного треугольника ACD
. Тогда
CK=\sqrt{AC^{2}-AK^{2}}=\sqrt{25-9}=4.
Поскольку CK
— высота трапеции ABCD
, то
S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot CK=\frac{6+5}{2}\cdot4=22.
