2100. Окружность с центром в точке пересечения диагоналей AC
и BC
равнобедренной трапеции ABCD
касается меньшего основания BC
и боковой стороны AB
. Найдите площадь трапеции ABCD
, если известно, что её высота равна 16, а радиус окружности равен 3.
Ответ. \frac{512}{3}
.
Решение. Пусть диагонали AC
и BD
пересекаются в точке O
, а K
и L
— середины оснований BC
и AD
соответственно. Поскольку трапеция равнобедренная, прямая KL
— её ось симметрии, значит, прямая KL
проходит через точку O
, OK
— радиус окружности, а окружность касается также боковой стороны CD
.
Из подобия треугольников BOC
и DOA
получаем, что
\frac{BC}{AD}=\frac{OK}{OL}=\frac{3}{13}.
Положим BC=3x
и AD=13x
. Пусть BH
— высота трапеции. Тогда (см, задачу 1921)
AH=\frac{AD-BC}{2}=\frac{13x-3x}{2}=5x.
Центр окружности, вписанной угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому BO
— биссектриса угла ABC
, тогда
\angle ADB=\angle CBD=\angle ABD,
поэтому треугольник ABD
равнобедренный, AB=AD=13x
.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABH
получаем,
AB^{2}=AH^{2}+BH^{2},~\mbox{или}~169x^{2}=25x^{2}+256,
откуда x=\frac{4}{3}
. Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH=8x\cdot16=8\cdot\frac{4}{3}x\cdot16=\frac{512}{3}=170\frac{2}{3}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1987, билет 8, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 87-8-3, с. 286
Источник: Московская математическая регата. — 2025-2526, второй тур, задача 2.2, 10 класс