2125. В прямоугольном треугольнике ABC
(\angle C=90^{\circ}
) проведены высота CD
и медиана CE
. Площади треугольников ABC
и CDE
равны соответственно 10 и 3. Найдите AB
.
Ответ. 5\sqrt{2}
.
Указание. \frac{DE}{AB}=\frac{S_{\triangle CDE}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{3}{10}
.
Решение. Заметим, что
\frac{DE}{AB}=\frac{S_{\triangle CDE}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{3}{10}.
Положим DE=3x
, AB=10x
. Тогда (см. задачу 1109)
CE=AE=BE=5x,~CD=\sqrt{CE^{2}-DE^{2}}=\sqrt{25x^{2}-9x^{2}}=4x,
S_{\triangle CDE}=\frac{1}{2}DE\cdot DC=\frac{1}{2}\cdot3x\cdot4x=6x^{2}=3.
Поэтому
x=\frac{1}{\sqrt{2}}~\Rightarrow~AB=10x=5\sqrt{2}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1982, билет 9, № 2
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 82-9-2, с. 245
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 1.11, с. 10