2163. Периметр прямоугольного треугольника ABC
(\angle C=90^{\circ})
равен 72, а разность между медианой CK
и высотой CM
равна 7. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. 144.
Указание. Составьте систему уравнений.
Решение. Обозначим AC=b
, BC=a
, CK=x
. Тогда AB=2x
(см. задачу 1109), CM=x-7
. По условию задачи a+b+2x=72
. Поэтому a+b=2(36-x)
.
Поскольку
ab=2x(x-7),~(a+b)^{2}-(a^{2}+b^{2})=2ab,
то
4(36-x)^{2}-4x^{2}=4x(x-7).
Решим полученное уравнение:
(36-x)^{2}-x^{2}=x^{2}-7x~\Leftrightarrow~(36-x-x)(36-x+x)=x^{2}-7x~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~72(18-x)=x(x-7)~\Leftrightarrow~x^{2}+65x-1296=0~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~x=\frac{-65\pm\sqrt{4225+5184}}{2}=\frac{-65\pm97}{2}.
Условию задачи удовлетворяет только положительный корень x=\frac{-65+97}{2}=16
.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CM=x(x-7)=16\cdot9=144