2168. Теорема Понселе для треугольника. Одна окружность лежит внутри другой. Пусть для некоторой точки A
большей окружности верно следующее утверждение: если из точки A
проведена её хорда AB
, касающаяся меньшей окружности, а из точки B
проведена хорда BC
большей окружности, отличная от AB
и касающаяся меньшей окружности, то хорда AC
касается меньшей окружности. Докажите, что тогда оно верно для произвольной точки X
большей окружности.
Решение. Пусть I
и O
— центры окружностей радиусов r
и R
соответственно. Первая из этих окружностей вписана в треугольник ABC
, а вторая описана около этого треугольника. По формуле Эйлера (см. задачу 126) OI^{2}=R^{2}-2Rr
.
Из произвольной точки X
большей окружности проведём различные хорды XY
и XZ
большей окружности, касающиеся меньшей. Предположим, что хорда YZ
не имеет общих точек с меньшей окружностью. Будем увеличивать угол YXZ
так, чтобы луч XI
оставался его биссектрисой. Тогда расстояние от точки I
до хорд XY
и XZ
будет увеличиваться (это расстояние равно XI\sin\frac{\alpha}{2}
, где \alpha=\angle YXZ
), а до хорды YZ
уменьшаться.
В какой-то момент хорда YZ
коснётся меньшей окружности. При этом расстояние OI
и радиус R
большей окружности не изменятся. Из формулы Эйлера следует, что не изменится и радиус меньшей окружности. Получено противоречие.
Аналогично, если предположить, что хорда YZ
пересекает меньшую окружность. Следовательно, треугольник XYZ
, вписанный в большую окружность, оказывается описанным около меньшей. Что и требовалось доказать.
Источник: Математика в задачах: Сб. материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду / Под ред. А. А. Заславского, Д. А. Пермякова, А. Б. Скопенкова и др. — М.: МЦНМО, 2009. — № 2, с. 162
Источник: Жижилкин И. Д. Инверсия. — (Библиотека «Математическое просвещение». Вып. 35). — М.: МЦНМО, 2009. — с. 64