2170. В круге проведены два диаметра AB
и CD
, M
— некоторая точка. Известно, что AM=15
, BM=20
, CM=24
. Найдите DM
.
Ответ. 7.
Указание. Докажите, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки плоскости до двух противоположных вершин прямоугольника равна сумме квадратов расстояний от этой точки до двух других вершин прямоугольника (см. задачу 2169).
Решение. Поскольку AB
и CD
— диаметры окружности, то ACBD
— прямоугольник. Сумма квадратов расстояний от произвольной точки плоскости до двух противоположных вершин прямоугольника равна сумме квадратов расстояний от этой точки до двух других вершин прямоугольника (см. задачу 2169), т. е.
MA^{2}+MB^{2}=MC^{2}+MD^{2}.
Отсюда находим, что
MD^{2}=MA^{2}+MB^{2}-MC^{2}=15^{2}+20^{2}-24^{2}=49.
Следовательно, MD=7
.