2171. Расстояния от точки M
до трёх вершин прямоугольника равны (последовательно) 3, 5, 4. Найдите площадь прямоугольника.
Ответ. 12.
Указание. Если ABCD
— прямоугольник, а M
— произвольная точка, то MA^{2}+MC^{2}=MB^{2}+MD^{2}
(см. задачу 2169).
Решение. Пусть ABCD
— прямоугольник, MA=3
, MB=5
, MC=4
. Поскольку
MA^{2}+MC^{2}=MB^{2}+MD^{2}
(см. задачу 2169), то
MD^{2}=MA^{2}+MC^{2}-MB^{2}=9+16-25=0.
Поэтому точка M
совпадает с вершиной D
. Следовательно, стороны прямоугольника равны 3 и 4, а его площадь равна 12.
Источник: Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач: Учебное пособие для 10 кл. — М.: Просвещение, 1989. — № 220, с. 209
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — , № 804, с. 99