2213. В прямоугольном треугольнике ABC
из вершины прямого угла C
проведены биссектриса CL=a
и медиана CM=b
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. \frac{1}{4}\left(a^{2}+a\sqrt{a^{2}+8b^{2}}\right)
.
Указание. С помощью формулы для площади треугольника выразите биссектрису CL
через катеты AC
и BC
.
Решение. Заметим, что AB=2CM=2b
(см. задачу 1109). Обозначим BC=x
, AC=y
. Тогда
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BCL}+S_{\triangle ACL},~\mbox{или}~\frac{xy}{2}=\frac{ax\sqrt{2}}{4}+\frac{ay\sqrt{2}}{4}.
Отсюда находим, что x+y=\frac{xy\sqrt{2}}{a}
.
По теореме Пифагора x^{2}+y^{2}=4b^{2}
, поэтому
(x+y)^{2}-2xy=4b^{2},~\frac{2x^{2}y^{2}}{a^{2}}-2xy-4b^{2}=0.
Решая последнее квадратное уравнение относительно xy
, получим, что
xy=\frac{1}{2}\left(a^{2}+a\sqrt{a^{2}+8b^{2}}\right).
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{xy}{2}=\frac{1}{4}\left(a^{2}+a\sqrt{a^{2}+8b^{2}}\right).
Источник: Вступительный экзамен на факультет вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ. — 1973, вариант 2, № 3
Источник: Александров Б. И., Лурье М. В. Пособие по математике для поступающих в МГУ. — М.: Изд-во МГУ, 1977. — с. 230