2258. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разбивает его на два треугольника с периметрами 8 и 9. Найдите стороны треугольника.
Ответ. 3; 4; 5.
Указание. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
Решение. Обозначим через a
и b
(a\lt b
) катеты треугольника. Поскольку медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы (см. задачу 1109), две стороны треугольника с периметром 8 соответственно равны двум сторонам треугольника с периметром 9, поэтому разность периметров равна разности третьих сторон. Значит b-a=9-8=1
. Гипотенуза данного прямоугольного треугольника равна удвоенной медиане, т. е. сумме двух сторон треугольника с периметром 8, поэтому гипотенуза равна 8-a
.
По теореме Пифагора
a^{2}+b^{2}=(8-a)^{2}.
Из системы
\syst{b-a=1\\a^{2}+b^{2}=(8-a)^{2}\\}
находим, что a=3
, b=4
.
Источник: Вступительный экзамен в МАТИ. — 1990, № 5, вариант 2
Источник: Журнал «Квант». — 1991, № 5, с. 67
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 1.3, с. 10