2266. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30^{\circ}
. Докажите, что в этом треугольнике отрезок перпендикуляра, проведённого к гипотенузе через её середину до пересечения с катетом, втрое меньше большего катета.
Указание. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы (см. задачу 1109).
Решение. Пусть M
— середина гипотенузы AB
прямоугольного треугольника ABC
, K
— такая точка катета AC
, для которой KM\perp AB
. Тогда KM
— катет прямоугольного треугольника AMK
, лежащий против угла в 30^{\circ}
. Поэтому KM=\frac{1}{2}AK
.
Поскольку CM=\frac{1}{2}AB=MB
(см. задачу 1109), то треугольник CMK
равнобедренный, а так как \angle MBC=60^{\circ}
, то этот треугольник равносторонний. Поэтому
\angle KMC=\angle KMB-\angle CMB=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ},
\angle KCM=\angle KCB-\angle MCB=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}.
Следовательно, треугольник CKM
— равнобедренный. Значит, CK=KM=\frac{1}{3}AC
.
Источник: Зубелевич Г. И. Сборник задач московских математических олимпиад. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 1971. — № 411, с. 49