2288. На сторонах
BC
,
AC
и
AB
остроугольного треугольника
ABC
взяты соответственно точки
A_{1}
,
B_{1}
и
C_{1}
так, что лучи
A_{1}A
,
B_{1}B
и
C_{1}C
являются биссектрисами углов треугольника
A_{1}B_{1}C_{1}
. Докажите, что
AA_{1}
,
BB_{1}
и
CC_{1}
— высоты треугольника
ABC
.
Решение. Проведём биссектрисы внешних углов треугольника
A_{1}B_{1}C_{1}
. Пусть биссектрисы внешних углов при вершинах
B_{1}
и
C_{1}
пересекаются в точке
A_{2}
. Аналогично определяются точки
B_{2}
и
C_{2}
.
Поскольку биссектрисы двух внешних и третьего внутреннего углов треугольника пересекаются в одной точке, биссектриса угла
A_{1}
(т. е. луч
AA_{1}
) также проходит через точку
A_{2}
. Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны, поэтому прямая
AA_{1}
перпендикулярна биссектрисе внешнего угла при вершине
A_{1}
треугольника
A_{1}B_{1}C_{1}
. Следовательно,
A_{2}A_{1}
— высота треугольника
A_{2}B_{2}C_{2}
. Аналогично
B_{2}B_{1}
и
C_{2}C_{1}
— высоты треугольника
A_{2}B_{2}C_{2}
.
Докажем, что треугольник
A_{2}B_{2}C_{2}
совпадает с треугольником
ABC
. Пусть это не так, например, точка
A_{2}
находится вне треугольника
ABC
.
Воспользуемся следующим утверждением: если прямая пересекает сторону треугольника и не проходит ни через одну из вершин, то она пересекает ещё ровно одну сторону треугольника (см. задачу 806).
Луч
A_{2}B_{2}
пересекает сторону
AB
треугольника
ABB_{1}
(в точке
C_{1}
) и не пересекает сторону
AB_{1}
(их разделяет прямая
A_{2}A_{1}
). Следовательно, он пересекает сторону
BB_{1}
, т. е. точка
B_{2}
расположена внутри отрезка
BB_{1}
, а значит, внутри треугольника
ABC
(
B_{2}
лежит на
BB_{1}
как точка пересечения биссектрис двух внешних и третьего внутреннего углов треугольника
A_{1}B_{1}C_{1}
). Аналогично
C_{2}
находится внутри треугольника
ABC
. Но отрезок
B_{2}C_{2}
пересекает сторону
BC
в точке
A_{1}
. Противоречие.
Аналогично к противоречию ведёт предположение о том, что точка
A_{2}
расположена внутри треугольника
ABC
.
Точно так же для точек
B_{2}
и
C_{2}
.
Автор: Сергеев П. В.
Автор: Гордин Р. К.
Источник: Турнир городов. — 2006-2007, XXVIII, осенний тур, старшие классы, основной вариант