2336. Дана прямая и две точки A
и B
, лежащие по одну сторону от этой прямой на равном расстоянии от неё. Как с помощью циркуля и линейки найти на прямой такую точку C
, что произведение AC\cdot BC
будет наименьшим?
Решение. Прямая AB
параллельна данной прямой l
, поэтому площадь треугольника ACB
не зависит от C
: основание AB
и опущенная на него высота постоянны. С другой стороны, эта площадь равна \frac{1}{2}AC\cdot BC\sin\angle ACB
. Поэтому наименьшему произведению AC\cdot BC
соответствует наибольший синус угла ACB
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Построим окружность с диаметром AB
. Если она пересекает нашу прямую l
в двух точках P
и Q
(рис. 1), то эти точки — искомые, так как
\angle APB=\angle AQB=90^{\circ},~\sin\angle APB=\sin\angle AQB=\sin90^{\circ}=1.
В противном случае (рис. 2) искомая точка C
— пересечение прямой l
с серединным перпендикуляром к отрезку AB
. Из этой точки отрезок AB
виден под наибольшим нетупым углом, поскольку остальные точки прямой лежат вне проходящей через точки A
, B
и C
окружности (см. задачу 1772).