2349. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD
перпендикулярны и пересекаются в точке O
. Известно, что сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники AOB
и COD
, равна сумме радиусов окружностей, вписанных в треугольники BOC
и DOA
. Докажите, что
а) четырёхугольник ABCD
— описанный;
б) четырёхугольник ABCD
симметричен относительно одной из своих диагоналей.
Решение. Пусть
AB=a,~BC=b,~CD=c,~DA=d,~AO=u,~BO=x,~CO=v,~DO=y.
а) По известной формуле для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник (см. задачу 217),
\frac{1}{2}(u+x-a)+\frac{1}{2}(y+v-c)=\frac{1}{2}(x+v-b)+\frac{1}{2}(u+y-d)~\Leftrightarrow~a+c=b+d.
Следовательно, четырёхугольник ABCD
— описанный.
б)
Первый способ. Диагонали четырёхугольника перпендикулярны, поэтому суммы квадратов противоположных сторон равны (см. задачу 1344), т. е. a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}
. Отсюда
2ac=(a+c)^{2}-(a^{2}+c^{2})=(b+d)^{2}-(b^{2}+d^{2})=2bd.
Из равенств a+c=b+d
, ac=bd
следует, что пары (a,c)
и (b,d)
совпадают. А это и означает симметрию относительно одной из диагоналей.
Второй способ. Предположим, что четырёхугольник несимметричен, например, OA\lt OC
, OB\lt OD
. Рассмотрим точку A'
, симметричную точке A
относительно диагонали BD
, и точку B'
, симметричную B
относительно AC
. Тогда
A'B'+CD=AB+CD=BC+AD=B'C+A'D.
Но отрезки B'C
и A'D
пересекаются, и из неравенства треугольника следует, что A'B'+CD\lt B'C+A'D
. Противоречие.
Автор: Кожевников П. А.
Источник: Турнир городов. — 2010-2011, XXXII, осенний тур, базовый вариант, 10-11 классы