2359. Через центр окружности перпендикулярно диаметру AC
проведена прямая, пересекающая хорду AB
в точке M
, а касательную к окружности, проходящую через точку B
, — в точке N
. Докажите, что BN=MN
Указание. Примените теорему об угле между касательной и хордой (см. задачу 87).
Решение. Точка B
лежит на окружности с диаметром AC
, поэтому \angle ABC=90^{\circ}
. Из теоремы об угле между касательной и хордой \angle NBM=\angle ABN=\angle ACB
.
Пусть O
— центр окружности. Противоположные углы ABC
и MOC
четырёхугольника BCOM
равны 90^{\circ}
, поэтому
\angle NMB=180^{\circ}-\angle OMB=\angle OCB=\angle ACB.
Значит, \angle NMB=\angle NBM
, и треугольник BMN
равнобедренный. Следовательно, BN=MN
. Что и требовалось доказать.