2372. На диагонали AC
выпуклого четырёхугольника ABCD
нашлась точка P
, лежащая внутри треугольника ABD
, для которой
\angle ACD+\angle BDP=\angle ACB+\angle DBP=90^{\circ}-\angle BAD.
Докажите, что либо \angle BAD+\angle BCD=90^{\circ}
, либо \angle BDA+\angle CAB=90^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle BAD=\alpha
, \angle ACD=\beta
, \angle BDP=\gamma
, \angle ACB=\delta
, \angle DBP=\varphi
. Тогда
\beta+\gamma=\delta+\varphi=90^{\circ}-\alpha.
Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABD
(рис. 1). Тогда
\angle BOD=2\angle BAD=2\alpha,~\angle BDO=\angle DBO=90^{\circ}-\alpha=\beta+\gamma\gt\gamma=\angle BDP,
значит, луч DP
проходит между сторонами угла BDO
. Аналогично луч BP
проходит между сторонами угла DBO
. Поэтому точка P
лежит внутри треугольника BOD
. Тогда
\angle PBO=\angle DBO-\angle DBP=(90^{\circ}-\alpha)-\varphi=\delta=\angle BCP.
Аналогично \angle PDO=\beta=\angle DCP
По теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой (см. задачу 144), OB
— касательная к описанной окружности треугольника BPC
, а OD
— касательная к описанной окружности треугольника DPC
.
Если эти окружности совпадают, то четырёхугольник BCDP
вписанный (рис. 2), поэтому \angle DBP=\angle PCD=\angle ACD
, значит,
90^{\circ}-\angle BAD=\angle ACB+\angle DBP=\angle ACB+\angle ACD=\delta+\beta=\angle BCD.
Следовательно, \angle BAD+\angle BCD=90^{\circ}
.
Если же окружности различны (рис. 3), то точка O
лежит на их радикальной оси (т. е. на прямой AC
), так как OB=OD
как радиусы описанной окружности треугольника ABD
, а значит, степени точки O
относительно описанных окружностей треугольников BCP
и DCP
равны.
Пусть AE
— диаметр описанной окружности треугольника ABD
. Тогда \angle ABE=90^{\circ}
. Следовательно,
\angle BDA+\angle CAB=\angle BEA+\angle EAB=180^{\circ}-\angle ABE=90^{\circ}.