2387. Внутри трапеции ABCD
(BC\parallel AD
) выбрана точка M
так, что \angle AMB=\angle CMD=90^{\circ}
, \angle BAM+\angle CDM=\angle BMC
. Докажите, что трапеция ABCD
— описанная.
Указание. Докажите, что точка M
лежит на средней линии трапеции.
Решение. Обозначим \angle BAM=\alpha
, \angle CDM=\beta
. Тогда \angle BMC=\alpha+\beta
.
Пусть P
и Q
— середины боковых сторон соответственно AB
и CD
трапеции. Медиана MP
прямоугольного треугольника AMB
равна половине гипотенузы AB
(см. задачу 1109), поэтому треугольник APM
равнобедренный, MP=AP
. Значит,
\angle AMP=\angle MAP=\alpha,~\angle BMP=90^{\circ}-\angle.
Аналогично \angle CMQ=90^{\circ}-\beta
. Следовательно,
\angle PMQ=\angle BMP+\angle BMC+\angle CMQ=90^{\circ}-\alpha+(\alpha+\beta)+90^{\circ}-\beta=180^{\circ}.
Значит, точки P
, M
и Q
лежат на одной прямой, а так как P
и Q
— середины AB
и CD
, то PQ
— средняя линия трапеции, PQ=\frac{1}{2}(AD+BC)
.
С другой стороны,
PQ=MP+MQ=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}(AB+CD),
поэтому AD+BC=AB+CD
. Следовательно, в трапецию ABCD
можно вписать окружность. Что и требовалось доказать.