2432. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и радиусу вписанной окружности.
Указание. Если биссектрисы углов B
и C
треугольника ABC
пересекаются в точке O
, то \angle BOC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A
(см. задачу 4770).
Решение. Если O
— центр вписанной окружности искомого треугольника ABC
, то в треугольнике BOC
известны: BC=a
(данная сторона), высота, проведённая из вершины O
(данный радиус r
), и \angle BOC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A
(см. задачу 4770), где \angle A=\alpha
— данный угол.
Отсюда вытекает следующее построение. Строим на хорде BC
дугу окружности S
радиуса R_{1}
, вмещающую угол, равный 90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 2889). Затем проводим прямую l
, параллельную прямой BC
, и отстоящую от неё на расстоянии, равном r
. Если прямая l
пересекает построенную дугу, то каждая точка пересечения есть центр вписанной окружности искомого треугольника. Если касательные, проведённые из точек B
и C
к построенной окружности пересекаются в точке A
, то A
— третья вершина искомого треугольника ABC
.
Задача имеет решение, если радиус вписанной окружности не больше, чем расстояние между прямыми BC
и l
, т. е.
R_{1}-R_{1}\sin\frac{\alpha}{2}=R_{1}\left(1-\sin\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{a}{2\sin\left(90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)}\left(1-\sin\frac{\alpha}{2}\right)=
=\frac{a\left(1-\sin\frac{\alpha}{2}\right)}{2\cos\frac{\alpha}{2}}=a\tg\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{4}\right)\geqslant r,
или r\leqslant a\tg\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{4}\right)
.