2436. Около треугольника ABC
описана окружность с центром O
. Точки A'
, B'
, C'
— симметричны точкам соответственно A
, B
, C
относительно O
, точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— середины сторон BC
, AC
, AB
соответственно. Докажите, что прямые A'A_{1}
, B'B_{1}
, C'C_{1}
пересекаются в одной точке — ортоцентре H
треугольника ABC
.
Указание. См. задачу 6300.
Решение. Поскольку AA'
— диаметр окружности, углы ABA'
и ACA'
— прямые, а так как CH\perp AB
, то A'B\parallel CH
. Аналогично A'C\parallel BH
, значит, A'BHC
— параллелограмм. Его диагональ A'H
проходит через середину диагонали BC
, т. е. через точку A_{1}
. Следовательно, прямая A'A_{1}
проходит через точку H
. Аналогично для прямых B'B_{1}
и C'C_{1}
.
Автор: Кушнир И. А
Источник: Ефремовъ Д. Д. Новая геометрiя треугольника. — Одесса, 1902. — с. 141