2456. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность с центром O
, причём точка O
не лежит ни на одной из диагоналей этого четырёхугольника. Известно, что центр описанной окружности треугольника AOC
лежит на прямой BD
. Докажите, что центр описанной окружности треугольника BOD
лежит на прямой AC
.
Решение. Первый способ. Пусть R
— радиус окружности, P
— середина AC
, Q
— середина BD
, O_{1}
и O_{2}
— центры описанных окружностей треугольников AOC
и BOD
соответственно. Линия центров пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде и делит её пополам, поэтому прямые OO_{1}
и AC
пересекаются в точке P
и OP\perp AC
.
Опустим перпендикуляр O_{1}N
на радиус OA
. Из подобия прямоугольных треугольников AOP
и O_{1}ON
получаем OP:OA=ON:OO_{1}
, т. е.
OP\cdot OO_{1}=OA\cdot ON=R\cdot\frac{1}{2}R=\frac{1}{2}R^{2}.
Аналогично OQ\cdot OO_{2}=\frac{1}{2}R^{2}
. Поэтому OP:OQ=OO_{2}:OO_{1}
, значит, треугольники OPO_{2}
и OQO_{1}
подобны (у них общий угол при вершине O
). По условию угол OQO_{1}
прямой, поэтому и угол OPO_{2}
прямой. Это означает, что точка O_{2}
лежит на прямой AC
. Что требовалось доказать.
Второй способ. Утверждение задачи есть частный случай следующего утверждения.
Пусть центр окружности \Omega_{1}
лежит на радикальной оси окружностей \Omega_{2}
и \Omega_{3}
, а центр окружности \Omega_{2}
лежит на радикальной оси окружностей \Omega_{1}
и \Omega_{3}
. Тогда центр окружности \Omega_{3}
лежит на радикальной оси окружностей \Omega_{1}
и \Omega_{2}
. (В нашем случае \Omega_{1}
, \Omega_{2}
и \Omega_{3}
— описанные окружности треугольников ABC
, AOC
и BOD
соответственно.)
Доказательство сводится к тривиальной проверке следствия:
O_{1}O_{2}^{2}-r_{2}^{2}=O_{2}O_{3}^{2}-r_{3}^{2},~O_{2}O_{1}^{2}-r_{1}^{2}=O_{2}O_{3}^{2}-r_{3}^{2}~\Rightarrow~O_{3}O_{1}^{2}-r_{1}^{2}=O_{3}O_{2}^{2}-r_{2}^{2},
где O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
и r_{1}
, r_{2}
, r_{3}
центры и радиусы окружностей \Omega_{1}
, \Omega_{2}
, \Omega_{3}
соответственно (см. задачу 6391).