2460. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и медиане, проведённой из вершины одного из прилежащих углов.
Указание. Примените метод геометрических мест.
Решение. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен. Пусть его сторона BC
равна данному отрезку a
, угол A
равен данному углу \alpha
, медиана CC_{1}
равна данному отрезку m_{c}
.
Первый способ. Если A_{1}
— середина стороны BC
, то \angle A_{1}C_{1}B=\angle A
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим отрезок BC
, равный a
, и его середину A_{1}
. На отрезке BA_{1}
как на хорде строим дугу, вмещающую данный угол \alpha
(см. задачу 2889). С центром в точке C
проводим окружность радиусом, равным данной медиане m_{c}
. Пусть C_{1}
— точка пересечения этой окружности с построенной дугой. На продолжении отрезка BC_{1}
за точку C_{1}
откладываем отрезок C_{1}A=BC_{1}
. Треугольник ABC
— искомый, так как A_{1}C_{1}
— его средняя линия, поэтому \angle BAC=\angle BC_{1}A_{1}=\alpha
.
Число решений определяется числом точек пересечения построенных дуги и окружности.
Второй способ. Вершина A
лежит на дуге BC
окружности с центром O
, описанной около треугольника, т. е. принадлежит ГМТ, из которых данный отрезок BC
виден под заданным углом \alpha
.
Точка C_{1}
находится на заданном расстоянии m_{c}
от точки C
, т. е. лежит на окружности с центром C
и радиусом m_{c}
. Кроме того, точка C_{1}
является серединой хорды AB
, поэтому \angle OMC=90^{\circ}
, т. е. эта точка лежит на окружности с диаметром OB
.
Примечание. Тот факт, что точка C_{1}
лежит на окружности с диаметром OC
, можно было получить иначе. Точка C_{1}
принадлежит геометрическому месту середин хорд AB
, причём точка B
фиксирована, поэтому C_{1}
является образом точки A
при гомотетии с центром B
и коэффициентом \frac{1}{2}
. Значит, образом окружности с центром O
при этой гомотетии является окружность с центром в середине отрезка OC
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 8.7, с. 201
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 8.7, с. 198
Источник: Голубев В. И., Ерганжиева Л. Н., Мосевич К. К. Построение треугольника. — М.: БИНОМ. Лаборатория Знаний, 2008. — № 15, с. 56
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2003, № 1, 8-9 классы