2465. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник ABC
, зная три точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
, в которых продолжения его высот пересекают описанную окружность.
Указание. Докажите, что биссектрисы треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
лежат на высотах треугольника ABC
(см. задачу 33).
Решение. Рассмотрим случай, когда треугольники ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
— остроугольные. Предположим, что треугольник ABC
построен. Докажем, что биссектрисы треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
лежат на высотах треугольника ABC
.
Действительно,
\angle AA_{1}C_{1}=\frac{1}{2}\cup AC_{1}=\angle ACC_{1}=\angle ABB_{1}=\frac{1}{2}\cup AB_{1}=\angle AA_{1}B_{1},
т. е. A_{1}A
— биссектриса угла B_{1}A_{1}C_{1}
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Проведём биссектрисы углов треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Точки пересечения этих биссектрис с описанной окружностью треугольника ABC
есть вершины A
, B
и C
искомого треугольника. Действительно, если P
— точка пересечения AA_{1}
и BC
, то
\angle APC=\frac{1}{2}(\cup A_{1}C+\cup AC_{1}+\cup C_{1}B)=\angle A_{1}C_{1}C+\angle AA_{1}C_{1}+\angle BCC_{1}=
=\frac{1}{2}\angle C_{1}+\frac{1}{2}\angle A_{1}+\frac{1}{2}\angle B_{1}=90^{\circ}.
т. е. AP
— высота треугольника ABC
. Аналогично докажем, что остальные высоты треугольника ABC
лежат на прямых BB_{1}
и CC_{1}
.
Аналогично для тупоугольных треугольников.