2480. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе, проведённым из одной вершины.
Указание. Биссектриса треугольника делит его основание на отрезки, пропорциональные боковым сторонам.
Проведите через основание данной биссектрисы прямую, параллельную одной из данных сторон треугольника.
Решение. Первый способ. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен. Пусть AD=l
— данная биссектриса, AB=a
, AC=b
— данные стороны. Через точку C
проведём прямую, параллельную AD
, до пересечения с прямой AB
в точке F
. Тогда
\angle ACF=\angle DAC=\angle DAB=\angle CFA,
поэтому треугольник CAF
равнобедренный. Треугольник BCF
подобен треугольнику BDA
, поэтому \frac{FC}{AD}=\frac{BF}{AB}
, откуда
CF=\frac{AD\cdot BF}{AB}=\frac{l(a+b)}{a}.
Отсюда вытекает следующий способ построения.
Строим равнобедренный треугольник CAF
по трём сторонам b
, b
и \frac{l(a+b)}{a}
(см. задачу 2608). На продолжении отрезка AF
за точку A
откладываем отрезок AB=a
. Тогда треугольник ABC
— искомый.
Действительно, AC=b
и AB=a
по построению. Если точка D
на стороне BC
такова, что AD\parallel FC
, то
\angle BAD=\angle BFC=\angle ACF=\angle DAC,
значит, AD
— биссектриса треугольника ABC
, а так как треугольники ABD
и FBC
подобны, то
AD=FC\cdot\frac{BF}{AB}=FC\cdot\frac{BF}{AB}=\frac{l(a+b)}{a}\cdot\frac{a+b}{a}=l.
Если l\lt\frac{2ab}{a+b}
, задача имеет единственное решение.
Второй способ. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен. Пусть AD=l
— данная биссектриса, AB=a
, AC=b
— данные стороны. Через точку D
проведём прямую, параллельную стороне AB
, до пересечения со стороной AC
в точке K
. Тогда
\angle ADK=\angle DAB=\angle DAK,
поэтому треугольник ADK
равнобедренный. По свойству биссектрисы треугольника
\frac{DC}{DB}=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{a}.
Поэтому
\frac{DK}{AB}=\frac{DC}{BC}=\frac{b}{a+b}~\Rightarrow~DK=AB\cdot\frac{DC}{BC}=a\cdot\frac{b}{a+b}=\frac{ab}{a+b}.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим равнобедренный треугольник ADK
по основанию AD=l
и боковым сторонам AK=KD=\frac{ab}{a+b}
. (Отрезок \frac{ab}{a+b}
можно построить, например, так: через точку пересечения диагоналей любой трапеции с основаниями a
и b
проведём прямую, параллельную основаниям. Отрезок этой прямой, заключённый внутри трапеции, равен \frac{2ab}{a+b}
.)
Отложив на луче AK
от точки A
отрезок, равный b
, получим искомую вершину C
. Отложим от луча AD
в полуплоскости, не содержащей точки K
, луч под углом, равным углу DAC
. Отложив на построенном луче от точки A
отрезок, равный a
, получим искомую вершину B
.
Третий способ. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен. Пусть AB
и AC
— его данные стороны, а AD
— данная биссектриса.
Вершины B
и C
лежат на окружностях S_{1}
и S_{2}
с центрами в точке A
и радиусами AB
и AC
соответственно. Поскольку \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}
, то при гомотетии с центром в точке D
и коэффициентом \left(-\frac{AB}{AC}\right)
вершина C
перейдёт в вершину B
, а окружность S_{2}
— в окружность, проходящую через точку B
. Отсюда вытекает следующий способ построения.
Строим окружности S_{1}
и S_{2}
с центром в конце A
данного отрезка AD
радиусами, равными данным сторонам. Затем строим образ окружности S_{2}
при гомотетии с центром D
и коэффициентом \left(-\frac{AB}{AC}\right)
. Пересечение этого образа с окружностью S_{1}
даёт искомую вершину B
.