2489. С помощью циркуля и линейки постройте выпуклый четырёхугольник по серединам его трёх равных сторон.
Указание. Пусть P
, Q
и R
— середины равных сторон AB
, BC
и CD
четырёхугольника ABCD
. Тогда точки B
и C
лежат на серединных перпендикулярах к отрезкам PQ
и QR
.
Решение. Пусть P
, Q
и R
— середины равных сторон AB
, BC
и CD
четырёхугольника ABCD
. Тогда точки B
и C
лежат на серединных перпендикулярах к отрезкам PQ
и QR
.
Предположим, что четырёхугольник ABCD
построен. Пусть P
, Q
и R
— середины его равных сторон AB
, BC
и CD
соответственно. Тогда точки B
и C
лежат на серединных перпендикулярах к отрезкам PQ
и QR
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Проведём серединные перпендикуляры к отрезкам PQ
и QR
. Через точку Q
, лежащую внутри угла между этими перпендикулярами, проведём прямую, отрезок BC
которой, заключённый внутри угла, делился бы этой точкой пополам (см. задачу 1232). Точки A
и D
симметричны точкам B
и C
относительно точек P
и R
соответственно.