2489. С помощью циркуля и линейки постройте выпуклый четырёхугольник по серединам его трёх равных сторон.
Указание. Пусть P
, Q
и R
— середины равных сторон AB
, BC
и CD
четырёхугольника ABCD
. Тогда точки B
и C
лежат на серединных перпендикулярах к отрезкам PQ
и QR
.
Решение. Пусть P
, Q
и R
— середины равных сторон AB
, BC
и CD
четырёхугольника ABCD
. Тогда точки B
и C
лежат на серединных перпендикулярах к отрезкам PQ
и QR
.
Предположим, что четырёхугольник ABCD
построен. Пусть P
, Q
и R
— середины его равных сторон AB
, BC
и CD
соответственно. Тогда точки B
и C
лежат на серединных перпендикулярах к отрезкам PQ
и QR
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Проведём серединные перпендикуляры к отрезкам PQ
и QR
. Через точку Q
, лежащую внутри угла между этими перпендикулярами, проведём прямую, отрезок BC
которой, заключённый внутри угла, делился бы этой точкой пополам (см. задачу 1232). Точки A
и D
симметричны точкам B
и C
относительно точек P
и R
соответственно.
Источник: Турнир городов. — 1989-1990, XI, осенний тур, старшие классы, тренировочный вариант
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 8.48, с. 203
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 8.49, с. 200
Источник: Бабинская И. Л. Задачи математических олимпиад. — М.: Наука, 1975. — № 286, с. 33