2490. Даны три точки A
, B
и C
. С помощью циркуля и линейки постройте три окружности, попарно касающиеся в этих точках.
Указание. Рассмотрите треугольник с вершинами в центрах данных окружностей. Докажите, что A
, B
и C
— точки касания сторон этого треугольника с вписанной окружностью.
Решение. Рассмотрим случай внешнего касания. Предположим, что окружности S_{1}
, S_{2}
и S_{3}
построены. Пусть S_{1}
и S_{2}
касаются в точке C
, S_{1}
и S_{3}
— в точке B
, S_{2}
и S_{3}
— в точке A
. Пусть O_{1}
, O_{2}
и O_{3}
— центры окружностей S_{1}
, S_{2}
и S_{3}
соответственно. Тогда точки A
, B
и C
лежат на сторонах треугольника O_{1}O_{2}O_{3}
, причём
O_{1}B=O_{1}C,~O_{2}C=O_{2}A,~O_{3}A=O_{3}B.
Докажем, что точки A
, B
и C
являются точками касания вписанной окружности треугольника O_{1}O_{2}O_{3}
с его сторонами.
Предположим, что точка C_{1}
— точка касания вписанной окружности со стороной O_{1}O_{2}
. Тогда
O_{2}C_{1}=\frac{1}{2}(O_{1}O_{2}+O_{2}O_{3}+O_{1}O_{3})-O_{1}O_{3}=x+y+z-(x+z)=y,
где x
, y
, z
— радиусы окружностей соответственно S_{1}
, S_{2}
, S_{3}
(см. задачу 219). Поэтому O_{2}C_{1}=O_{2}C
. Следовательно, точки C_{1}
и C
совпадают. Аналогично для точек A
и B
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Описываем окружность около треугольника ABC
и проводим к ней касательные в точках A
, B
и C
. Точки пересечения этих касательных есть центры искомых окружностей.
Если каждая из двух окружностей, касающихся между собой внешним образом, касаются внутренним третьей окружности, то аналогично можно доказать, что точки их попарного касания являются точками касания прямых, содержащих стороны треугольника O_{1}O_{2}O_{3}
, с вневписанной окружностью этого треугольника.