2498. С помощью циркуля и линейки около данного треугольника опишите треугольник, равный другому данному треугольнику.
Указание. Задача сводится к проведению через точку пересечения двух окружностей секущей, часть которой, заключённая внутри окружностей, равна данному отрезку (см. задачу 2497).
Решение. Для определённости будем считать, что вершины A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
треугольника должны находиться соответственно на сторонах BC
, AC
и AB
второго треугольника.
Предположим, что задача решена. Опишем окружности около треугольников A_{1}B_{1}C
и C_{1}B_{1}A
. Тогда AC
— секущая, проходящая через точку B_{1}
пересечения двух построенных окружностей, часть которой внутри окружностей равна стороне второго данного треугольника.
Отсюда вытекает следующий способ построения. На отрезке A_{1}B_{1}
как на хорде строим окружность, дуга которой вмещает угол, равный углу C
(см. задачу 2889). Таких окружностей может быть две. Выберем из них ту, для которой указанная дуга и точка C_{1}
расположены по разные стороны от прямой A_{1}B_{1}
. Аналогично строим окружность на хорде B_{1}C_{1}
. Через точку пересечения B_{1}
этих окружностей проводим секущую, часть которой, заключённая внутри окружностей равна отрезку AC
. Для этого достаточно построить прямоугольный треугольник по гипотенузе O_{1}O_{2}
(O_{1}
и O_{2}
— центры построенных окружностей) и катету, равному половине данного отрезка AC
, и через точку B_{1}
провести прямую, параллельную этой секущей. Эта прямая вторично пересекает окружности в вершинах A
и C
искомого треугольника.