2510. С помощью циркуля и линейки около данного треугольника опишите равносторонний треугольник с наибольшим возможным периметром.
Указание. Задача сводится к проведению через точку пересечения окружностей прямой, на которой эти окружности высекают хорды, сумма длин которых максимальна.
Решение. Пусть вершины A
, B
и C
данного треугольника расположены на сторонах KN
, MN
и KM
равностороннего треугольника KMN
. Пусть P
и Q
— проекции на сторону KN
центров O_{1}
и O_{2}
окружностей, описанных около треугольников ABN
и ACK
соответственно. Тогда PQ\leqslant O_{1}O_{2}
, причём равенство достигается только в случае, если PQ\parallel O_{1}O_{2}
. Поскольку KN=2PQ
, то KN
максимально, если KN\parallel O_{1}O_{2}
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. На отрезке AB
как на хорде строим в полуплоскости, не содержащей точки C
, дугу окружности, вмещающую угол 60^{\circ}
(см. задачу 2889). Аналогично строим соответствующую дугу окружности на хорде AC
. Через точку A
проводим прямую, параллельную линии центров построенных окружностей. Эта прямая пересекает построенные дуги в точках N
и K
. Точка пересечения NB
и KC
есть третья вершина M
искомого треугольника.