2539. На плоскости заданы две пересекающиеся прямые, и на них отмечено по одной точке (D
и E
). Постройте треугольник ABC
, у которого биссектрисы CD
и AE
лежат на данных прямых, а основания этих биссектрис — данные точки D
и E
.
Указание. Рассмотрите образы точек D
и E
при симметрии относительно данных прямых.
Решение. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен. Пусть AE
и CD
— его биссектрисы. Тогда образ E_{1}
точки E
при симметрии относительно прямой CD
и образ D_{1}
точки D
при симметрии относительно прямой AE
лежат на прямой AC
.
Отсюда вытекает следующее построение. Строим образы E_{1}
и D_{1}
данных точек E
и D
при симметрии относительно данных прямых OD
и OE
(O
— точка пересечения данных прямых). Пусть прямая E_{1}D_{1}
пересекает данные прямые в точках C
и A
(если точки E_{1}
и D_{1}
совпадают, то проводим через E_{1}
произвольную прямую, пересекающую прямые OD
и OE
).
Если прямые AD
и CE
пересекаются, то их точка пересечения есть вершина B
искомого треугольника. Если прямая E_{1}D_{1}
параллельна одной из данных прямых или AD\parallel CE
, то задача не имеет решений. Пусть это не так. В этом случае прямые AE
и CD
могут оказаться биссектрисами не внутренних, а внешних углов треугольника ABC
.
Поскольку \angle DOE=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle B
(см. задачу 1101), то задача разрешима только при \alpha=\angle DOE\gt90^{\circ}
. Но и это условие не является достаточным для существования решения. Нужно потребовать, чтобы существовали точки A
и C
, а также чтобы точки D
, O
и E
лежали по одну сторону от прямой AC
. Можно доказать, что задача разрешима тогда и только тогда, когда
-2\cos\alpha\lt\frac{DO}{EO}\lt-\frac{1}{2}\cos A
при \alpha\ne120^{\circ}
(в этом случае решение единственно) или когда
DO=EO,~\alpha=120^{\circ}
(в этом случае точки D_{1}
и E_{1}
совпадают, и решений бесконечно много).