2549. Даны отрезки a
и b
. Постройте отрезок x
, равный \sqrt[4]{{a^{4}+b^{4}}}
.
Указание. Воспользуйтесь тождеством
{\sqrt[4]{{a^{4}+b^{4}}}}=\sqrt{\sqrt{\left(\frac{a^{2}}{c}\right)^{2}+\left(\frac{b^{2}}{c}\right)^{2}}\cdot c},
где c
— произвольный отрезок, или тождеством
a^{4}+b^{4}=(a^{2}+b^{2}-\sqrt{2}ab)(a^{2}+b^{2}+\sqrt{2}ab).
Решение. Первый способ. Пусть c
— произвольный отрезок. Построим такие отрезки m
и n
, что \frac{m}{a}=\frac{a}{c}
и \frac{n}{b}=\frac{b}{c}
. Тогда m=\frac{a^{2}}{c}
и n=\frac{b^{2}}{c}
. Затем построим такой отрезок y
, что
y=\sqrt{m^{2}+n^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a^{2}}{c}\right)^{2}+\left(\frac{b^{2}}{c}\right)^{2}},
затем — такой отрезок x
, что
x=\sqrt{y\cdot c}=\sqrt{\sqrt{\left(\frac{a^{2}}{c}\right)^{2}+\left(\frac{b^{2}}{c}\right)^{2}}\cdot c}={\sqrt[4]{{a^{4}+b^{4}}}}.
Второй способ. Пусть c
— произвольный отрезок. Построим отрезки
u=\frac{a^{4}}{c^{3}}~\mbox{и}~v=\frac{b^{4}}{c^{3}}
(см. задачу 2609), затем отрезки
t=u+v,~k=\sqrt{ct},~l=\sqrt{ck}=\sqrt{c\sqrt{ct}}=\sqrt{\sqrt{c^{3}t}}=
=\sqrt[{4}]{{c^{3}(u+v)}}=\sqrt[{4}]{{c^{3}\left(\frac{a^{4}}{c^{3}}+\frac{b^{4}}{c^{3}}\right)}}={\sqrt[{4}]{{a^{4}+b^{4}}}}
Третий способ. Заметим, что
a^{4}+b^{4}=a^{4}+2a^{2}b^{2}+b^{4}-2a^{2}b^{2}=(a^{2}+b^{2})^{2}-2a^{2}b^{2}=
=(a^{2}+b^{2}-\sqrt{2}ab)(a^{2}+b^{2}+\sqrt{2}ab)=
=(a^{2}+b^{2}-2ab\cos45^{\circ})(a^{2}+b^{2}-2ab\cos135^{\circ}).
Пусть
p=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cos45^{\circ}},~q=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cos135^{\circ}}.
Тогда {\sqrt[4]{{a^{4}+b^{4}}}}=\sqrt{pq}
.
Отсюда вытекает следующее построение. Строим треугольник со сторонами a
и b
и углом 45^{\circ}
между ними. Тогда p
— третья сторона этого треугольника. Аналогично строим отрезок q
. Наконец, искомый отрезок x
строим как среднее геометрическое отрезков p
и q
.