2554. На окружности, касающейся сторон угла с вершиной O
, выбраны две диаметрально противоположные точки A
и B
(отличные от точек касания). Касательная к окружности в точке B
пересекает стороны угла в точках C
и D
, а прямую OA
— в точке E
. Докажите, что BC=DE
.
Решение. Предположим, что указанная окружность вписана в треугольник OCD
и касается со стороной OC
в точке M
(рис. 1).
Рассмотрим гомотетию с центром O
, при которой вписанная окружность треугольника OCD
переходит во вневписанную окружность этого треугольника. При этой гомотетии касательная в точке A
к первой окружности переходит в параллельную ей касательную ко второй, т. е. в прямую CD
, а точка A
— в точку касания прямой CD
со вневписанной окружностью треугольника OCD
, т. е. в точку E
.
Пусть при этой гомотетии точка M
переходит в точку M'
. Обозначим через p
полупериметр треугольника OCD
. Тогда
CE=CM'=OM'-OC=p-OC=BD
(см. задачу 219). Следовательно, BC=DE
. Что и требовалось доказать.
Аналогично для случая, когда указанная окружность — это вневписанная окружность треугольника OCD
(рис. 2).
Автор: Меркурьев А. С.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1984, 8-9 кл.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1985, № 8, задача 1 (1985, с. 2), с. 245
Источник: Петербургские математические олимпиады 1961—1993 / Под ред. Д. В. Фомина, К. П. Кохася. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2007. — Задача 84.43