2577. На стороне AC
треугольника ABC
выбрана точка X
. Докажите, что если вписанные окружности треугольников ABX
и BCX
касаются друг друга, то точка X
лежит на окружности, вписанной в треугольник ABC
.
Решение. Пусть вписанная окружность треугольника ABX
касается его сторон AB
и AX
в точках L
и K
соответственно, вписанная окружность треугольника BCX
касается его сторон BC
и CX
в точках M
и N
соответственно, Y
— точка касания этих окружностей, а p
— полупериметр треугольника ABC
. Тогда
KX=XY=NX,~p=AK+KX+CN+BM=AX+CN+BM=AX+CM+BM,
значит, AX=p-(CM+BM)=p-BC
. Следовательно, X
— точка касания стороны AC
треугольника ABC
с его вписанной окружностью (см. задачу 219).