2579. Хорды XK
и XM
окружности делят её диаметр AB
на три равные части. Докажите, что 5KM\leqslant3AB
.
Решение. Первый способ. Пусть O
— центр окружности, а хорды XK
и XM
пересекают диаметр AB
в точках C
и D
соответственно (рис. 1). Обозначим, AC=CD=BD=a
, \angle CXD=\angle KXM=\alpha
, CX=x
, DX=y
. Тогда радиус окружности равен \frac{3a}{2}
.
По теореме синусов KM=AB\sin\angle KXM=3a\sin\alpha
, а так как угол MXK
острый, то хорда KM
тем больше, чем больше \alpha
.
По формуле для медианы треугольника (см. задачу 4014) 4OX^{2}=2CX^{2}+2DX^{2}-CD^{2}
, или 4\cdot\frac{9}{4}a^{2}=2x^{2}+2y^{2}-a^{2}
, откуда находим, что x^{2}+y^{2}=5a^{2}
, поэтому
x^{2}y^{2}\leqslant\left(\frac{x^{2}+y^{2}}{2}\right)^{2}=\left(\frac{5a^{2}}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}a^{4},
причём равенство достигается, если x=y
, т. е. когда точка X
совпадает с серединой дуги AB
.
По теореме косинусов
\cos\alpha=\frac{CX^{2}+DX^{2}-CD^{2}}{2CX\cdot DX}=\frac{x^{2}+y^{2}-a^{2}}{2xy}=\frac{5a^{2}-a^{2}}{2xy}=\frac{2a^{2}}{xy}\geqslant\frac{2a^{2}}{\frac{5}{2}a^{2}}=\frac{4}{5},
значит, максимальное значение \alpha
равно \arccos\frac{4}{5}
и достигается, когда X
— середина дуги AB
. В этом случае,
\sin\alpha=\frac{3}{5},~KM=AB\sin\alpha=3a\cdot\frac{3}{5}=\frac{9}{5}a,~5KM=9a=3AB.
В остальных случаях 5KM\lt3AB
.
Второй способ. Пусть O
— центр окружности, а хорды XK
и XM
пересекают диаметр AB
в точках C
и D
соответственно (рис. 2). Обозначим, AC=CD=BD=a
, \angle CXD=\angle KXM=\alpha
. Тогда радиус окружности равен \frac{3a}{2}
.
По теореме синусов KM=AB\sin\angle KXM=3a\sin\alpha
, а так как угол MXK
острый, то хорда KM
тем больше, чем больше \alpha
.
Опишем окружность около треугольника CDX_{0}
. Для любой отличной от X_{0}
точки рассматриваемой дуги AB
данной окружности \angle CXD\lt\angle AX_{0}D
, так как точка X
лежит вне описанной окружности треугольника CDX_{0}
. Следовательно, максимальное значение \alpha
равно 2\arctg\frac{1}{3}=\arccos\frac{4}{5}
и достигается, когда X
— середина дуги AB
. В этом случае,
\sin\alpha=\frac{3}{5},~KM=AB\sin\alpha=3a\cdot\frac{3}{5}=\frac{9}{5}a,~5KM=9a=3AB.
В остальных случаях 5KM\lt3AB
.
Автор: Фомин Д. В.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1989, 9 кл. (ФМШ)
Источник: Петербургские математические олимпиады 1961—1993 / Под ред. Д. В. Фомина, К. П. Кохася. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2007. — Задача 89.34