2601. Точки K
и N
расположены соответственно на сторонах AB
и AC
треугольника ABC
, причём AK=BK
и AN=2NC
. В каком отношении отрезок KN
делит медиану AM
треугольника ABC
?
Ответ. 4:3
.
Указание. Соедините точки K
и M
и рассмотрите подобные треугольники (или примените метод площадей).
Решение. Первый способ. Отрезок KM
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому KM\parallel AC
и
KM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}AN=\frac{3}{4}AN.
Пусть прямые AM
и KN
пересекаются в точке P
. Из подобия треугольников PAN
и PMK
находим, что
\frac{AP}{PN}=\frac{AN}{KM}=\frac{4}{3}.
Второй способ. Пусть прямые AM
и KN
пересекаются в точке P
. Обозначим через S
площадь треугольника ABC
, а через k
— отношение \frac{AP}{AM}
. Тогда
S_{\triangle ABM}=S_{\triangle ACM}=\frac{1}{2}S,
S_{\triangle AKN}=\frac{AK}{AB}\cdot\frac{AN}{AC}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}S=\frac{1}{3}S,
S_{\triangle AKP}=\frac{AK}{AB}\cdot\frac{AP}{AM}\cdot S_{\triangle ABM}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}kS=\frac{1}{4}kS,
S_{\triangle ANP}=\frac{AN}{AC}\cdot\frac{AP}{AM}\cdot S_{\triangle ABM}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}kS=\frac{1}{3}kS
(см. задачу 3007). Поскольку S_{\triangle AKN}=S_{\triangle AKP}+S_{\triangle ANP}
, то
\frac{1}{3}S=\frac{1}{4}kS+\frac{1}{3}kS,
Из этого уравнения находим, что k=\frac{4}{7}
. Следовательно, \frac{AP}{PN}=\frac{4}{3}
.