2650. Диагональ параллелограмма, равная b
, перпендикулярна стороне параллелограмма, равной a
. Найдите вторую диагональ параллелограмма.
Ответ. \sqrt{4a^{2}+b^{2}}
.
Указание. Примените теорему Пифагора и теорему о сумме квадратов диагоналей параллелограмма
Решение. Пусть диагональ BD
параллелограмма ABCD
перпендикулярна его стороне AB
, причём AB=CD=a
, BD=b
. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABD
находим, что
AD^{2}=AB^{2}+BD^{2}=a^{2}+b^{2}.
По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма (см. задачу 4011)
AC^{2}+BD^{2}=2\cdot AB^{2}+2\cdot AD^{2},~\mbox{или}~AC^{2}+b^{2}=2a^{2}+2(a^{2}+b^{2}),
откуда AC^{2}=4a^{2}+b^{2}
.