2679. Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно k
.
Ответ. \frac{2k}{(1+k)^{2}}
.
Указание. Докажите, что центр ромба совпадает с центром параллелограмма и рассмотрите подобные треугольники.
Решение. Пусть вершины M
, N
, K
и L
ромба MNKL
расположены соответственно на сторонах AB
, BC
, CD
и AD
параллелограмма ABCD
, а стороны MN
и KN
ромба соответственно параллельны диагоналям AC
и BD
параллелограмма, причём \frac{AC}{BD}=k
. Если угол между диагоналями параллелограмма равен \alpha
, то
S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin\alpha,~S_{KLMN}=MN\cdot KN\sin\alpha=MN^{2}\sin\alpha,
поэтому
\frac{S_{KLMN}}{S_{ABCD}}=\frac{2MN^{2}}{AC\cdot BD}.
Заметим, что центр ромба совпадает с центром O
параллелограмма (см. задачу 1057). Поскольку ON
— биссектриса треугольника BOC
, то
\frac{BN}{CN}=\frac{OB}{OC}=\frac{BD}{AC},
значит,
\frac{BN}{BC}=\frac{BD}{BD+AC}=\frac{1}{1+k}.
Из подобия треугольников BMN
и BAC
находим, что
MN=AC\cdot\frac{BN}{BC}=\frac{AC}{1+k}.
Следовательно,
\frac{S_{KLMN}}{S_{ABCD}}=\frac{2MN^{2}}{AC\cdot BD}=\frac{\frac{2AC^{2}}{(1+k)^{2}}}{AC\cdot BD}=2\cdot\frac{AC}{BD}\cdot\frac{1}{(1+k)^{2}}=\frac{2k}{(1+k)^{2}}.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1984-85, XI, III этап, 10 класс