2754. В треугольник со сторонами AB=4
, BC=2
, AC=3
вписана окружность. Найдите площадь треугольника AMN
, где M
, N
— точки касания этой окружности со сторонами AB
и AC
соответственно.
Ответ. \frac{25}{64}\sqrt{15}
.
Указание. Отрезок AM
равен разности между полупериметром треугольника ABC
и стороной BC
(см. задачу 219).
Решение. Пусть p
— полупериметр треугольника ABC
. Тогда
AM=AN=p-BC=\frac{9}{2}-2=\frac{5}{2}
(см. задачу 219). По теореме косинусов находим, что
\cos\angle A=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2AB\cdot AC}=\frac{16+9-4}{24}=\frac{21}{24}=\frac{7}{8},
поэтому
\sin\angle A=\sqrt{1-\frac{49}{64}}=\frac{\sqrt{15}}{8}.
Следовательно,
S_{\triangle AMN}=\frac{1}{2}AM\cdot AN\sin\angle A=\frac{1}{2}\left(\frac{5}{2}\right)^{2}\cdot\frac{\sqrt{15}}{8}=\frac{25}{64}\sqrt{15}.