2760. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты CC_{1}
и AA_{1}
. Известно, что AC=1
и \angle C_{1}CA_{1}=\alpha
. Найдите площадь круга, описанного около треугольника C_{1}BA_{1}
.
Ответ. \frac{\pi}{4}\tg^{2}\alpha
.
Указание. Треугольник C_{1}BA_{1}
подобен треугольнику CBA
с коэффициентом \cos\angle B
(см. задачу 19).
Решение. Треугольник C_{1}BA_{1}
подобен треугольнику CBA
(см. задачу 19) с коэффициентом
\frac{BC_{1}}{BC}=\cos\angle B=\cos(90^{\circ}-\alpha)=\sin\alpha,
поэтому
A_{1}C_{1}=AC\sin\alpha=\sin\alpha.
Пусть R
— радиус окружности, описанной около треугольника C_{1}BA_{1}
. Тогда
R=\frac{A_{1}C_{1}}{2\sin\angle B}=\frac{\sin\alpha}{2\sin(90^{\circ}-\alpha)}=\frac{\sin\alpha}{2\cos\alpha}=\frac{1}{2}\tg\alpha.
Следовательно, искомая площадь круга равна \pi R^{2}=\frac{\pi}{4}\tg^{2}\alpha
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет психологии МГУ. — 1993, вариант 1, № 4
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Факториал, 1995. — , с. 618