2816. В треугольнике ABC
со сторонами BC=7
, AC=5
, AB=3
проведена биссектриса AD
. Вокруг треугольника ABD
описана окружность, а в треугольник ACD
вписана окружность. Найдите произведение их радиусов.
Ответ. \frac{35}{32}
.
Указание. \angle BAC=120^{\circ}
.
Решение. По свойству биссектрисы треугольника \frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{5}
, откуда находим, что BD=\frac{21}{8}
, CD=\frac{35}{8}
.
По теореме косинусов
\cos\angle BAC=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2AB\cdot AC}=\frac{9+25-49}{30}=-\frac{1}{2},
поэтому
\angle BAC=120^{\circ},~\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC=60^{\circ}.
Пусть R
— радиус окружности, описанной около треугольника ABD
. Тогда
R=\frac{BD}{2\sin\angle BAD}=\frac{\frac{21}{8}}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{8}.
Обозначим AD=x
. Тогда
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin120^{\circ}=\frac{15\sqrt{3}}{4},
S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot x\sin60^{\circ}=\frac{3x\sqrt{3}}{4},
S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC\cdot x\sin60^{\circ}=\frac{5x\sqrt{3}}{4},
а так как S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}=S_{\triangle ABC}
, имеем уравнение 8x=15
, откуда находим, что x=\frac{15}{8}
.
Пусть окружность радиуса r
с центром O
, вписанная в треугольник ADC
, касается стороны AC
в точке P
. Если p
— полупериметр треугольника ADC
, то
p=\frac{5+\frac{15}{8}+\frac{35}{8}}{2}=\frac{45}{8},~AP=p-CD=\frac{45}{8}-\frac{35}{8}=\frac{5}{4}
(см. задачу 219). Из прямоугольного треугольника AOP
находим, что
r=OP=AP\tg\angle OAP=AP\tg\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{5}{4}\cdot\tg30^{\circ}=\frac{5}{4\sqrt{3}}.
Следовательно,
Rr=\frac{\frac{7\sqrt{3}}{8}\cdot5}{4\sqrt{3}}=\frac{35}{32}.
Источник: Вступительный экзамен на географический факультет МГУ. — 1995 (предварительный экзамен), № 4, вариант 1