2842. Через центр O
вписанной в треугольник ABC
окружности проведена прямая, параллельная стороне BC
и пересекающая стороны AB
и AC
соответственно в точках M
и N
. Периметр треугольника AMN
равен 3{\sqrt[4]{2}}
, сторона BC
равна {\sqrt[4]{2}}
, а отрезок AO
в три раза больше радиуса вписанной в треугольник ABC
окружности. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. 1.
Указание. Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности. Периметр треугольника AMN
равен AB+AC
.
Решение. Пусть точки M
и N
лежат на сторонах AB
и AC
соответственно, P
— точка касания вписанной окружности треугольника ABC
со стороной AC
, r
— радиус окружности, p
— полупериметр треугольника ABC
.
Луч BO
— биссектриса угла ABC
, поэтому \angle MOB=\angle OBC=\angle MOB
, значит, треугольник BMO
— равнобедренный, MB=MO
. Аналогично, NC=NO
, поэтому
AB+AC=(AM+MB)+(AN+NC)=(AM+MO)+(AN+NO)=
=AM+(MO+NO)+AN=AM+MN+AN=3{\sqrt[4]{2}},
2p=AB+AC+BC=3{\sqrt[4]{2}}+{\sqrt[4]{2}}=4{\sqrt[4]{2}},~AP=p-BC=2{\sqrt[4]{2}}-{\sqrt[4]{2}}={\sqrt[4]{2}}
(см. задачу 219).
С другой стороны, из прямоугольного треугольника AOP
находим, что
AN=\sqrt{AO^{2}-OP^{2}}=\sqrt{9r^{2}-r^{2}}=2r\sqrt{2},
значит, 2r\sqrt{2}={\sqrt[4]{2}}
, откуда
r=\frac{{\sqrt[4]{2}}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2{\sqrt[4]{2}}}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=pr=2{\sqrt[4]{2}}\cdot\frac{1}{2{\sqrt[4]{2}}}=1.