2842. Через центр O
вписанной в треугольник ABC
окружности проведена прямая, параллельная стороне BC
и пересекающая стороны AB
и AC
соответственно в точках M
и N
. Периметр треугольника AMN
равен 3\sqrt[4]{2}
, сторона BC
равна \sqrt[4]{2}
, а отрезок AO
в три раза больше радиуса вписанной в треугольник ABC
окружности. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. 1.
Указание. Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности. Периметр треугольника AMN
равен AB+AC
.
Решение. Пусть точки M
и N
лежат на сторонах AB
и AC
соответственно, P
— точка касания вписанной окружности треугольника ABC
со стороной AC
, r
— радиус окружности, p
— полупериметр треугольника ABC
.
Луч BO
— биссектриса угла ABC
, поэтому \angle MOB=\angle OBC=\angle MOB
, значит, треугольник BMO
— равнобедренный, MB=MO
. Аналогично, NC=NO
, поэтому
AB+AC=(AM+MB)+(AN+NC)=(AM+MO)+(AN+NO)=
=AM+(MO+NO)+AN=AM+MN+AN=3\sqrt[4]{2},
2p=AB+AC+BC=3\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{2}=4\sqrt[4]{2},~AP=p-BC=2\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{2}=\sqrt[4]{2}
(см. задачу 219).
С другой стороны, из прямоугольного треугольника AOP
находим, что
AN=\sqrt{AO^{2}-OP^{2}}=\sqrt{9r^{2}-r^{2}}=2r\sqrt{2},
значит, 2r\sqrt{2}=\sqrt[4]{2}
, откуда
r=\frac{\sqrt[4]{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt[4]{2}}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=pr=2\sqrt[4]{2}\cdot\frac{1}{2\sqrt[4]{2}}=1.
Источник: Вступительный экзамен на факультет вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ. — 1996 (предварительный экзамен), № 4, вариант 1