2908. На сторонах AB
и AC
треугольника ABC
расположены точки K
и L
, причём AK:KB=4:7
и AL:LC=3:2
. Прямая KL
пересекает продолжение стороны BC
в точке M
. Найдите отношение CM:BC
.
Ответ. 8:13
.
Указание. Проведите через вершину A
прямую, параллельную стороне BC
, и рассмотрите две пары подобных треугольников (или примените теорему Менелая, см. задачу 1622).
Решение. Через точку A
проведём прямую, параллельную BC
. Пусть T
— точка её пересечения с прямой KL
. Обозначим CM=a
.
Из подобия треугольников ALT
и CLM
(коэффициент \frac{3}{2}
) находим, что
AT=\frac{3}{2}CM=\frac{3}{2}a,
а из подобия треугольников AKT
и BKM
(коэффициент \frac{4}{7}
) —
BM=\frac{7}{4}AT=\frac{7}{4}\cdot\frac{3}{2}a=\frac{21}{8}a.
Тогда
BC=BM-CM=\frac{21}{8}a-a=\frac{13}{8}a.
Следовательно,
\frac{CM}{BC}=\frac{a}{\frac{13}{8}a}=\frac{8}{13}.
