2909. Точки M
и N
расположены соответственно на сторонах BC
и AB
треугольника ABC
, причём CM:MB=1:5
и BN:AN=1:3
. Прямая MN
пересекает продолжение стороны AC
в точке K
. Найдите отношение CK:AC
.
Ответ. 1:14
.
Указание. Проведите через вершину B
прямую, параллельную стороне AC
, и рассмотрите две пары подобных треугольников (или примените теорему Менелая, см. задачу 1622).
Решение. Через точку B
проведём прямую, параллельную AC
. Пусть T
— точка её пересечения с прямой MN
. Обозначим CK=a
.
Из подобия треугольников BMT
и CMK
(коэффициент 5
) находим, что
BT=5CK=5a,
а из подобия треугольников BNT
и ANK
(коэффициент \frac{1}{3}
) —
AK=3BT=3\cdot5a=15a.
Тогда
AC=AK-CK=15a-a=14a.
Следовательно,
\frac{CK}{AC}=\frac{a}{14a}=\frac{1}{14}.