2917. На сторонах AB
и AC
треугольника ABC
расположены точки N
и M
соответственно, причём AN:NB=3:2
, AM:MC=4:5
. Прямые BM
и CN
пересекаются в точке O
. Найдите отношения OM:OB
и ON:OC
.
Ответ. 5:6
; 8:25
.
Указание. Проведите через вершину B
прямую, параллельную стороне AC
, и рассмотрите две пары подобных треугольников (или примените теорему Менелая, см. задачу 1622).
Решение. Через точку B
проведём прямую, параллельную AC
. Пусть T
— точка её пересечения с прямой CN
. Положим AM=4a
, MC=5a
.
Из подобия треугольников BNT
и ANC
(коэффициент \frac{2}{3}
) находим, что
BT=\frac{2}{3}AC=\frac{2}{3}(AM+MC)=\frac{2}{3}(4a+5a)=6a,
а из подобия треугольников COM
и TOB
—
\frac{OM}{OB}=\frac{CM}{BT}=\frac{5a}{6a}=\frac{5}{6}.
Аналогично находим, что \frac{ON}{OC}=\frac{8}{25}
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 6.6, с. 46