2918. На стороне BC
и на продолжении стороны AB
за вершину B
треугольника ABC
расположены точки M
и K
соответственно, причём BM:MC=4:5
и BK:AB=1:5
. Прямая KM
пересекает сторону AC
в точке N
. Найдите отношение CN:AN
.
Ответ. 5:24
.
Указание. Проведите через вершину C
прямую, параллельную стороне AB
, и рассмотрите две пары подобных треугольников.
Решение. Первый способ. Через точку C
проведём прямую, параллельную AB
. Пусть прямая KM
пересекает её в точке T
.
Положим BK=a
, AB=5a
. Из подобия треугольников CMT
и BMK
(коэффициент \frac{5}{4}
) находим, что
CT=\frac{5}{4}BK=\frac{5}{4}a,
а из подобия треугольников CNT
и ANK
—
\frac{CN}{NA}=\frac{CT}{AK}=\frac{\frac{5}{4}a}{5a+a}=\frac{5}{24}.
Второй способ. Через точку M
проведём прямую, параллельную AC
, до пересечения с прямой AB
в точке L
. Тогда
\frac{BL}{LA}=\frac{BM}{MC}=\frac{4}{5},~BL=\frac{4}{9}AB,~KL=BL+BK=\frac{4}{9}AB+\frac{1}{5}AB=\frac{29}{45}AB.
Положим ML=b
, тогда AC=\frac{9}{4}b
, а
AN=\frac{AK}{KL}\cdot ML=\frac{AB+BK}{KL}\cdot b=\frac{AB+\frac{1}{5}AB}{\frac{29}{45}AB}\cdot b=\frac{54}{29}b.
Отсюда
\frac{CN}{AN}=\frac{AC-AN}{AN}=\frac{AC}{AN}-1=\frac{\frac{9}{4}b}{\frac{54}{29}b}-1=\frac{29}{24}-1=\frac{5}{24}.
Третий способ. Разместим в точках A
, K
, C
массы 5, 25, 24 соответственно. Тогда центр масс точек A
и K
находится в точке B
, а центр масс точек A
, K
, C
— в точке M
. Следовательно, центр масс точек A
и C
находится на пересечении прямых KM
и AC
, т. е. в точке N
. Отсюда CN:NA=5:24
.
Примечание. Разумеется, ответ сразу можно получить из теоремы Менелая (см. задачу 1622).