2932. В треугольнике ABC
известны стороны BC=a
, AC=b
, AB=c
и площадь S
. Биссектрисы BL
и AK
пересекаются в точке O
. Найдите площадь четырёхугольника CKOL
.
Ответ. \frac{abS(a+b+2c)}{(b+c)(a+c)(a+b+c)}
.
Решение. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам, т. е. \frac{CL}{AL}=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c}
, а так как AC=b
, то
AL=AC\cdot\frac{AL}{AC}=b\cdot\frac{c}{a+c}=\frac{bc}{a+c},~\frac{AL}{AC}=\frac{\frac{bc}{a+c}}{b}=\frac{c}{a+c}.
Аналогично,
BK=BC\cdot\frac{BK}{BC}=a\cdot\frac{c}{b+c}=\frac{ac}{b+c}.
BO
— биссектриса треугольника AKB
, поэтому
\frac{AO}{OK}=\frac{AB}{BK}=\frac{c}{\frac{ac}{b+c}}=\frac{b+c}{a},~\frac{AO}{AK}=\frac{AO}{AO+OK}=\frac{b+c}{a+b+c}.
Тогда (см. задачу 3007)
S_{\triangle AOL}=\frac{AL}{AC}\cdot\frac{AO}{AK}S_{\triangle AKC}=\frac{AL}{AC}\cdot\frac{AO}{AK}\cdot\frac{CK}{BC}S_{\triangle ABC}=
=\frac{c}{a+c}\cdot\frac{b+c}{a+b+c}\cdot\frac{b}{b+c}S=\frac{bcS}{(a+c)(a+b+c)}.
Следовательно,
S_{CKOL}=S_{\triangle AKC}-S_{\triangle AOL}=\frac{bS}{b+c}-\frac{bcS}{(a+c)(a+b+c)}=\frac{abS(a+b+2c)}{(b+c)(a+c)(a+b+c)}.