2933. На сторонах BC
и AC
треугольника ABC
взяты соответственно точки M
и N
, причём CM:MB=1:3
и AN:NC=3:2
. Отрезки AM
и BN
пересекаются в точке K
. Найдите площадь четырёхугольника CMKN
, если известно, что площадь треугольника ABC
равна 1.
Ответ. \frac{3}{20}
.
Решение. Положим CM=a
, BM=3a
. Через вершину A
проведём прямую, параллельную BC
. Пусть эта прямая пересекается с прямой BN
в точке T
. Из подобия треугольников ANT
и CNB
находим, что AT=\frac{3}{2}BC=\frac{3}{2}\cdot4a=6a
, а из подобия треугольников AKT
и MKB
— \frac{AK}{KM}=\frac{AT}{BM}=\frac{6a}{3a}=2
, поэтому (см. задачу 3007)
S_{\triangle ANK}=\frac{AN}{AC}\cdot\frac{AK}{AM}S_{\triangle ACM}=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{10}S_{\triangle ABC}.
Следовательно,
S_{CMKN}=S_{\triangle ACM}-S_{\triangle ANK}=\frac{1}{4}S_{ABC}-\frac{1}{10}S_{\triangle ABC}=\frac{3}{2}\cdot1=\frac{3}{20}.