2935. На сторонах AB
, BC
, CD
и AD
выпуклого четырёхугольника ABCD
расположены точки M
, N
, K
и L
соответственно, причём AM:MB=3:2
, CN:NB=2:3
, CK=KD
и AL:LD=1:2
. Найдите отношение площади шестиугольника MBNKDL
к площади четырёхугольника ABCD
.
Ответ. \frac{4}{5}
.
Решение. Проведём диагональ BD
четырёхугольника ABCD
. Тогда (см. задачу 3007)
S_{\triangle CNK}=\frac{CN}{CB}\cdot\frac{CK}{CD}S_{\triangle BCD}=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2}S_{\triangle BCD}=\frac{1}{5}S_{\triangle BCD},
S_{\triangle AML}=\frac{AM}{AB}\cdot\frac{AL}{AD}S_{\triangle ABD}=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{3}S_{\triangle ABD}=\frac{1}{5}S_{\triangle ABD}.
Поэтому,
S_{MBNKDL}=S_{ABCD}-S_{\triangle CNK}-S_{\triangle AML}=S_{ABCD}-\frac{1}{5}S_{\triangle BCD}-\frac{1}{5}S_{\triangle ABD}=
=S_{ABCD}-\frac{1}{5}(S_{\triangle BCD}+S_{\triangle ABD})=S_{ABCD}-\frac{1}{5}S_{ABCD}=\frac{4}{5}S_{ABCD}.
Следовательно,
\frac{S_{MBNKDL}}{S_{ABCD}}=\frac{4}{5}.