2940. Стороны треугольника равны 17, 17, 30. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей.
Ответ.
\frac{15}{4}
; 60; 8; 8.
Указание. Радиус вневписанной окружности, касающейся основания, можно найти из подобия треугольников. Радиус вневписанной окружности, касающейся боковой стороны, равен высоте, опущенной на основание.
Решение. Пусть
r
— радиус вписанной окружности треугольника
ABC
(
AC=BC=17,AB=30
),
r_{c}
,
r_{b}
и
r_{a}
— радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон
AB
,
AC
и
BC
соответственно,
O_{c},O_{b}
и
O_{a}
— их центры,
S
— площадь треугольника
ABC
,
p
— полупериметр,
p=\frac{17+17+30}{2}=32
.
Первый способ. Поскольку высота
CK
равнобедренного треугольника
ABC
является его медианой, то
CK^{2}=\sqrt{AC^{2}-AK^{2}}=\sqrt{17^{2}-15^{2}}=8,

поэтому
S=\frac{1}{2}AB\cdot CK=15\cdot8=120.

Следовательно,
r=\frac{S}{p}=\frac{120}{32}=\frac{15}{4}.

Если окружность с центром
O_{c}
касается продолжения стороны
BC
в точке
M
, то из подобия треугольников
CMO_{c}
и
CKB
находим, что
r_{c}=O_{c}M=BK\cdot\frac{CM}{CK}=BK\cdot\frac{BC+BM}{CK}=

=BK\cdot\frac{BC+BK}{CK}=15\cdot\frac{32}{8}=60.

Пусть окружность с центром
O_{a}
касается продолжения стороны
AB
в точке
F
, а продолжения стороны
AC
— в точке
E
. Поскольку
CO_{a}
— биссектриса угла
BCE
, а
CK
— биссектриса его смежного угла
ACB
, то
\angle O_{a}CK=90^{\circ}
. Поэтому
O_{a}CKF
— прямоугольник. Следовательно,
r_{b}=r_{a}=O_{A}F=CK=8.

Второй способ. Пусть
a
,
b
и
c
— стороны произвольного треугольника,
S
— его площадь,
p
— полупериметр,
r
— радиус вписанной окружности,
r_{a}
,
r_{b}
и
r_{c}
— радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон
a
,
b
и
c
соответственно. Тогда
r=\frac{S}{p},~r_{a}=\frac{S}{p-a}

(см. задачу 392). В нашем случае
r=\frac{S}{p}=\frac{120}{32}=\frac{15}{4},~r_{c}=\frac{S}{p-c}=\frac{120}{32-30}=60,

r_{b}=r_{a}=\frac{S}{p-a}=\frac{120}{32-17}=8.

Третий способ. Оставим обозначения, принятые в предыдущих способах. Поскольку
AO
— биссектриса треугольника
AKC
, то
\frac{OK}{OC}=\frac{AK}{AC}=\frac{15}{17},

а так как
OK=r
, то
r=OK=\frac{15}{15+17}CK=\frac{15}{32}\cdot8=\frac{15}{4}.

Поскольку
AO_{c}
— биссектриса внешнего угла треугольника
AKC
, то
\frac{O_{c}K}{O_{c}C}=\frac{AK}{AC}=\frac{15}{17},

а так как
O_{c}K=r_{c}
, то
r_{c}=O_{c}K=\frac{15}{17-15}CK=\frac{15}{2}\cdot8=60.

Поскольку
CO_{a}
— биссектриса угла
BCE
, а
CK
— биссектриса его смежного угла
ACB
, то
\angle O_{a}CK=90^{\circ}
. Поэтому
O_{a}CKF
— прямоугольник. Следовательно,
r_{b}=r_{a}=O_{A}F=CK=8.