2947. В остроугольном треугольнике ABC
из вершин A
и C
опущены высоты AP
и CQ
на стороны BC
и AB
. Известно, что площадь треугольника ABC
равна 96, площадь четырёхугольника AQPC
равна 72, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC
, равен \frac{16}{\sqrt{3}}
. Вычислите длину отрезка PQ
.
Ответ. 8.
Указание. Треугольники BPQ
и BAC
подобны с коэффициентом \frac{1}{2}
.
Решение. Из точек P
и Q
отрезок AC
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AC
(рис. 1). Тогда ACPQ
— вписанный четырёхугольник, поэтому
\angle BPQ=180^{\circ}-\angle CPQ=\angle QAC=\angle BAC.
Следовательно, треугольник BPQ
подобен треугольнику BAC
по двум углам (см. задачу 19), а так как
S_{\triangle BPQ}=S_{\triangle ABC}-S_{AQPC}=96-72=24,
то отношение площадей этих треугольников равно \frac{24}{96}=\frac{1}{4}
. Коэффициент подобия равен квадратному корню из отношения площадей, т. е. \frac{1}{2}
. Значит, PQ=\frac{1}{2}AC
.
С другой стороны, коэффициент подобия равен \frac{BP}{AB}=\cos\angle B
. Поэтому \cos\angle B=\frac{1}{2}
. Тогда
\angle B=60^{\circ},~\sin\angle B=\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Если R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
(рис. 2), то по теореме синусов
AC=2R\sin\angle B=2\cdot\frac{16}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=16.
Следовательно, PQ=\frac{1}{2}AC=8
.
